構造全等相似或借助輔助圓，輕松解決對角互補模型

所謂對角互補問題，一般出現(xiàn)在四邊形中，那對于這種問題我們怎么解決呢？那就是通過作輔助線得到全等三角形或相似三角形的結論，也可以借助輔助圓。常做的輔助線是做兩邊的垂線或用截長補短法構造全等或相似。接下來我們一起來看一下常考的模型及解題方法。

模型一01

模型一02

模型一03

這兩種方法你學會了嗎？如果學會了請看下面的幾種模型，并自己動手證一下下面的結論。

（2）全等型-120°

【條件】：①∠AOB=2∠FCE=120°；②OC平分∠AOB

【結論】：①CF=CE；②OF OE=OC；③S△COD S△COE等于四分之根號3倍的OC的平方

（3）全等型-任意角ɑ

【條件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；

【結論】：①OC平分∠AOB；②OD OE=2OC·cosɑ；

③S△COD S△COE等于OC的平方乘以sina再乘以cosɑ

※當∠DCE的一邊交AO的延長線于D時（如右下圖）：

原結論變成：

①

②

③

(自己動手做）

如圖

模型四

本節(jié)課講的是做題方法，不是讓你結論，你只需要掌握這種做題方法即可，對角互補模型常做的輔助線是做兩邊的垂線或用截長補短法構造全等相似或借助輔助圓。我們一起來看一下對角互補模型.

練習題

1.如圖示：一副三角板如圖放置，等腰直角三角形固定不動，另一塊的直角頂點放在等腰直角三角形的斜邊中點D處，且可以繞點D旋轉，在旋轉過程中，兩直角邊與AB、BC的交點為G、H

(1)當三角板DEF旋轉至圖1所示時，你能發(fā)現(xiàn)線段BG和CH大小有何關系？證明你的結論。

(2)若在旋轉過程中，兩直角邊的交點G、H始終在邊AB、CB上，AB=CB=4cm，在旋轉過程中四邊形GBHD的面積是否不變，若不變，求出它的值，若變，求出它的取值范圍。

(3)當三角板DEF旋轉至圖2所示時，三角板DEF與AB、BC邊所在的直線相交于點G、H時,(1)中的結論仍然成立嗎？并說明理

題目圖

答案圖02

2.如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點O是△ABC的中心，∠FOG=120°，繞點O旋轉∠FOG，分別交線段AB、BC于D、E兩點，連接DE，給出下列四個結論：①OD=OE；②S△ODE=S△BOE；③四邊形ODBE的面積始終等于三分之四倍的根號3；④△BDE周長的最小值為6.上述結論中正確的個數(shù)是（ ）

?A.1 B.2 C.3 D.4

3.如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點,,且∠MPNM與∠AOB互補,若∠MPN∠在繞點P旋轉的過程中,其兩邊分別與OA、OB相交于MM、N兩點,則以下結論：(1)PM=PM恒成立;(2)OM ON的值不變(3)四邊形PMON的面積不變(4)MN的長不變,其中正確的個數(shù)為( )個

A.4 B.3 C.2 D. 1

第2-3題圖

第2題答案圖01

第2題答案圖02

第2題答案圖03

第3題答案

4.已知：△ABC是等邊三角形，∠1 ∠2=120°，求證：∠1=∠2=60°

5.已知：△ABC是等邊三角形，∠1=60°，求證：∠2=60°.

第4-5題圖

分析：可借助四點共圓來證更簡單。

學習是個不斷思考不斷總結的過程，希望同學們在以后的學習中善于思考善于總結，每天都在進步。